Нужно ли подключать землю и контакт 5 вольт к светодиоду?

Да, вы можете получать +5 В от USB-разъема телевизора и передавать данные от Arduino, если вы соедините одновременно заземление USB телевизора и заземление Arduino.

Я считаю, что питать светодиодную ленту через USB не стоит.

Обычно USB выдает максимальный ток в мА (см. ниже). Если предположить, что у вас 30 светодиодов (минимум для обычной светодиодной ленты), и каждый светодиод дает ток 40 мА (максимум), это уже больше, чем может выдать большинство USB-портов. Это может испортить ваш USB-порт.

Для Arduino Nano вы можете использовать напряжение 5 В, и вам необходимо соединить все GND вместе.

Но вам в любом случае понадобится достойный адаптер для светодиодной ленты, чтобы вы могли питать Arduino Nano от адаптера, который вы используете для светодиодной ленты.

Обновить

Согласно Википедии USB-питание

Устройства с низким энергопотреблением (например, обычная USB-клавиатура) могут потреблять не более 1 единичная нагрузка (1 единичная нагрузка составляет 100 мА для USB-устройств до USB 2.0, а USB 3.0 определяет единичную нагрузку как 150 мА), и все устройства должны работать как Устройства с низким энергопотреблением при запуске без настройки.

Устройства высокой мощности (например, типичный 2,5-дюймовый жесткий диск USB) потребляют не менее 1 единицы нагрузки и не более 5 единиц нагрузки (500 мА) в течение устройства до USB 2.0 или 6 единичных нагрузок (900 мА) для устройств SuperSpeed.

Можете ли вы следить за этим? Подключите все GND. Телевизор 5 В может питать Arduino, подключаясь к контакту 5 В/VCC, а не к контакту Vin. Блок питания 5 В питает только светодиодную ленту. Нет причин, по которым он не мог бы также питать Arduino, и в этом случае не было бы необходимости подключать что-либо к телевизору.

USB-порты ПК обычно могут подавать ток только 500 мА, чего достаточно только для 8 светодиодов RGB с полным белым светом. Сомневаюсь, что ваш телевизор способен на большее.