Инициализировать класс внутри класса

Судя по вашему примеру использования, вы хотите, чтобы имена файлов создавались конструктором IPmonitoring. Однако, поскольку этот класс не может заранее знать , сколько места требуется для имен файлов, у вас остается два варианта:

1. Пусть эти имена файлов являются элементами данных: массивами символов некоторого фиксированного размера. Это наложит ограничение на максимальную длину имени файла.

2. Выделите массивы динамически во время построения.

Вот примерная реализация второго подхода:

class IPmonitoring
{
private:
    const char *_IP;
    const char *_nick;
    const char *connectionLOG_filename;
    const char *disconnectionLOG_filename;
    flashLOG connectionLOG;
    flashLOG disconnectionLOG;

    // Возвращает динамически выделенную строку с соединением символов
    // `a' и `b'.
    const char *str_concat(const char *a, const char *b)
    {
        char *s = new char[strlen(a) + strlen(b) + 1];
        strcpy(s, a);
        strcat(s, b);
        return s;
    }

public:
    IPmonitoring(const char *IP, const char *nick)
        : _IP(IP), _nick(nick),
        connectionLOG_filename(str_concat(nick, "_connlog.txt")),
        disconnectionLOG_filename(str_concat(nick, "_disconnlog.txt")),
        connectionLOG(connectionLOG_filename),
        disconnectionLOG(disconnectionLOG_filename)
    {}

    ~IPmonitoring(){
        delete[] connectionLOG_filename;
        delete[] disconnectionLOG_filename;
    }
};

Обратите внимание на деструктор, который необходим, чтобы избежать утечек памяти, если только все экземпляры класса не выделены статически (что было бы хорошо , чтобы избежать фрагментации памяти). Вы можете реализовать конструктор копирования и оператор назначения копирования в соответствии с правилом трех.