Локальный символ* - сохраняет свое значение

Потому что вы меняете строковый литерал. Эти литералы находятся в статической памяти, поэтому они сохраняются между вызовами функций.
Вдобавок ко всему, их изменение приводит к неопределенному поведению.

Вы также пишете за пределами строки.

Моя рекомендация:

void up_cmd0(){
  const size_t int_max_digits = floor(log10(pow(2, 8 * sizeof(int) - 1))) + 1;
  char num[int_max_digits + 2]; // максимальное количество цифр + знак минус + нулевой терминатор
  const char *str = "up_cmd0_res:";
  char buffer[strlen(str) + sizeof(num)] = {};
  strcat(buffer, str);
  itoa(counter2, num, 10);
  strcat(buffer, num);
  // ...
}

Не следует использовать глобальные переменные для передачи значений из одной функции в другую (counter2), попробуйте передать их в качестве параметра функции.

Локальной переменной является только указатель, *res. Сама строка "up_cmd0_res:" находится в другом месте оперативной памяти, хранится как литерал и не предназначена для изменения.

Ваш вызов strcat() перезаписывает (расширяет) литерал каждый раз, когда вы его вызываете, что, кстати, означает, что растущая строка будет перезаписывать что-то еще — все, что следовало за строковым литералом в глобальной памяти!!

Вам необходимо предоставить буфер символов в вашей функции, достаточно большой, чтобы вместить "up_cmd0_res:" плюс самую длинную вещь, которую вы когда-либо могли бы к нему присоединить, плюс еще один байт для нулевого терминатора. Этот буфер должен быть повторно инициализирован при каждой записи функции, прежде чем вы что-либо к нему добавите. Затем выполните вызов strcat для присоединения к нему. (Эти два вызова будут управлять терминатором для вас).

Тот факт, что эта программа не рухнула (или рухнула?), является всего лишь случайностью. Если вы вызовете эту функцию в том виде, в котором она изначально написана, достаточное количество раз, ваш строковый литерал будет расти, пока не перезапишет что-то важное и либо не выдаст неверные результаты (перезаписав некоторые другие данные, либо рухнет (перезаписав стек, особенно адрес возврата текущей функции).

Неправильно strcat в поле, указывающее на литерал. Код ниже короче, понятнее и не портит память:

 char res [20];
 sprintf (res, "up_cmd0_res:%i", counter2);
 client.publish(inTopic,res);

Поле res должно быть достаточно длинным, чтобы вместить буквенную строку (которая при этом не изменяется), а также число, которое вы добавляете в конец, и завершающий байт 0x00.

можете ли вы объяснить, что такое «буквальный»?

ОК. Литерал — это когда вы буквально помещаете строку в переменную. Например:

char *res = "up_cmd0_res:";

Так что res не указывает на какую-то переменную, а указывает на строку-литерал в коде. Теперь посмотрите на это:

void setup() {
  Serial.begin (115200);
  char * a = "foo";
  Serial.println (a);
  strcpy (a, "bar");
  Serial.println (a);
  char * b = "foo";
  Serial.println (b);
}

void loop()
{
}

Вы ожидаете, что этот код напечатает:

foo
bar
foo

Так и должно быть, верно?, потому что переменная b содержит «foo».

Однако на самом деле он печатает:

foo
bar
bar

Это потому, что strcpy изменил литеральную строку ("foo"), чтобы теперь она содержала "bar". Компилятор достаточно умен, чтобы думать, что каждый раз, когда он видит "foo" в коде, он может поместить один участок памяти с "foo" в нем, потому что это литерал (а литералы не изменяются). Но теперь вы изменили это.

Компилятор выдает предупреждение:

/tmp/arduino_modified_sketch_905830/sketch_aug19a.ino:7:12: warning: deprecated conversion from string constant to 'char*' [-Wwrite-strings]
 char * b = "foo";
            ^

Представьте, если бы вы могли изменить букву 5 так, чтобы каждый раз, когда вы прибавляете 5 к чему-то, на самом деле прибавлялось 42? Это было бы не так уж здорово, правда?

Ваш код был хуже, потому что вы не просто заменили строку на что-то такой же длины, вы использовали strcat, который заменяет ее на что-то более длинное.